零知识证明 - 椭圆曲线基础

年底了，有点忙。忙着给自己2019年做标记，忙着和小伙伴聚聚餐，谈谈创业，谈谈今年的状态。手头的产品也在打磨。区块链技术是个有趣的行业，爱并痛着。上个星期，自己把零知识证明证明的理解梳理了一下，也尝试直播五天分享我的理解。直播非常好玩，Zoom直播性能不错。感受比较深的是，像这样需要比较繁杂的理论基础的知识不太好讲，很多人在听了第一天之后都撤了。也非常感谢和我一起坚持到最后的小伙伴，更要感谢加入零知识证明技术星球的小伙伴，你们的陪同给我很大的动力。

做技术的小伙伴，一定要注意底层理论的积累，虽然底层理论学习貌似枯燥无味，却能让你能进行更高效率的证明或者推演。

对椭圆曲线的学习，个人推荐如下的链接，没有太多的术语，解释的比较清楚。

• https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/

• https://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/

本文也是在上述链接的基础上的总结。

1. 实数域上的椭圆曲线

1.1 定义

椭圆曲线的数学定义可以查看Wolfram MathWorld。不是密码学或者数学专业的小伙伴，看的是一头雾水。便于工程理解，椭圆曲线是一系列满足如下方程的点：

并$且4a^3+27b^2\neq0$。该方程称为椭圆曲线的Weierstrass方程。

如下是b=1, a从2到-3的椭圆曲线：

从方程可以看出，椭圆曲线是关于x坐标对称的曲线。除了坐标系上曲线的点，椭圆曲线额外定义一个点（无穷远处），记为 0。

也就是说，椭圆曲线是由如下的点组成：

1.2 基于椭圆曲线的群定义

在椭圆曲线的基础上，可以定义一个加法群：

• 所有椭圆曲线上的点，就是这个群里的元素
• 单位元就是0
• 点P的逆元是点P相对x坐标的对称点
• 加法定义如下：在椭圆曲线上，和一条直线相交的3个点P,Q以及R，三点相加满足。也就说，椭圆曲线上的两点相加的结果，还在椭圆曲线上。

结合群的定义，可以证明定义的这个加法群，就是阿贝尔群。

1. 封闭性：因为椭圆曲线上的点相加，还是椭圆曲线上的点。
2. 结合律：P+(Q+R)=(P+Q)+R=0
3. 单位元: 单位元是0
4. 逆元: 一个椭圆曲线上的点P的逆元，是相对x坐标的对称点
5. 交换律：P+Q=Q+P

1.3 椭圆曲线加法计算

因为 P+Q+R = 0，也就是 P+Q = -R。计算 P+Q 的方法就比较直观了：连接P和Q划一条线，该线和椭圆曲线交的另外一个点为R。P+Q 的结果就是R的逆。

考虑几种特殊情况，对加法计算进行“修正”：

• P+0 或者 Q=0 ：因为定义0为无穷远处，不能基于无穷远处划线。但是因为定义了0为单位元，所以 P+0=P 以及 0+Q=Q。
• P = -Q ：因为两个点是对称的，所以基于这两个点划的线垂直于x轴，不再相交于其他点。P+Q = -Q+Q = 0。
• P = Q ：如果P和Q是同一个点的话， 那存在多条线穿过这“两个”点。如果把Q看作是无限接近P的过程，可以看出，穿过P和Q的是椭圆曲线在P点的切线。如果切线和椭圆曲线相交的点为R，则 P+P+R = 0，P++ = 2P = -R 。

• P ≠ Q，并且不存在第三个点相交：这种情况和上一种情况有点类似，也就是说，P/Q的连线是椭圆曲线的切线。如果P点是切点，P+P+Q = 0。也就是说，P+Q = -P。

1.4 加法计算推导

加法的定义是完备的。针对最普通的情况，就是在椭圆曲线上一条直线能穿过三个点，分别是P，Q。$P=(x_P,y_P)$ ,$Q=(x_Q,y_Q)$,$R=(x_R,y_R)$。这条直线有个斜率：

可以推导出：

或者

当然，如果P/Q是同一个点的话，斜率的计算公式不同。

1.5 标量乘法（Scalar Multiplication）

在加法的基础上，定义了标量乘法，同一个点相加多次：

计算标量乘法，最简单的方法是一个个P点相加。如果n是k位的话，算法复杂度是：$O(2^k)$。

有个快速的计算方法：double后相加。假设n=151，二进制表示为：</sub>10010111<sub>2。

还是用n=151举个例子：

"Double"主要是依次获得某个位对应的变量的结果。如果该位是1，就加到最后的结果中。这种算法的复杂度是：O(k)。

1.6 对数问题

已知n和P，Q = nP 的计算比较容易。但是，在Q和P已知的情况下，求解n非常困难，没有多项式时间求解算法。

2. 有限域上的椭圆曲线

上面介绍的是基于实数的椭圆曲线的点，可以构造一个群。考虑特征数为的有限域，为素数。该有限域是由模的结果组成，记$F_p$。因为有限域中的元素都有逆元，也就是$x\cdot x^{-1} = 1$，则$x/y = x\cdot y^{-1}$。

2.1 扩展欧几里得定理

给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。gcd(a,b)是最大公约数。

2.2 模p运算下的乘法逆

假设元素a，在模运算下，有逆元x。满足，a·x = 1(mod p)。也就是说，

通过扩展欧几里得定理，可以求得x和y。x就是a的乘法逆。

2.3 在F_p定义椭圆曲线

在$F_p$上椭圆曲线定义如下：

定义和实数上的定义类似。如下是$y^2\equiv x^3-7x+10(mod\ p)$，p分别是19，97，127，487对应的椭圆曲线的点。

椭圆曲线是关于 y = p/2 对称，因为 在模p的情况下，这两个等式相等。

2.4 点加

和实数上椭圆曲线的点加类似，定义在一条“线”上的三点相加等于0：P+Q+R = 0 。在$F_p$有限域上，一条直线定义为：$ax+by+c \equiv 0(mod\ p)$。

上图是$y^2\equiv x^3-x+3(mod\ 127)$的椭圆曲线，其中P = (16,20) , Q = (14,120) 。图中的黄色的一系列的斜线是 $y\equiv 4x+83(mod\ 127)$的直线。R就在其中一条斜线上，-R就是图中标出的R的对称点，也就是P+Q的结果。

点加性质： · Q+0 = 0+Q = Q · $-Q=(x_Q,-y_Q\ mod\ p)$， 也就是，-Q是横坐标相同但纵坐标相反的点，也就是，相对p/2对称的点。 · P+(-P) = 0

2.5 点加计算

假设三个点在一条线上，$P=(x_P,y_P)$，$Q=(x_Q,y_Q)$，$R=(x_R,y_R)$。如果P和Q不是同一个点： 从而，推导出： 其他条件下的推导，涉及的公式比较多。有兴趣的小伙伴可以自行推导。

2.6 在有限群上的椭圆曲线有多少点？

椭圆曲线上的点的个数，称为“阶”。如果枚举0～p-1，查看点的个数，不太现实，因为p是一个非常大的质数。Schoof算法能在多项式时间确定椭圆曲线阶：https://en.wikipedia.org/wiki/Schoof%27s_algorithm。

2.7 标量乘法

和实数域上一样，可以使用double后相加的方法计算。在有限域上，有额外的特性，举个例子：

已知$y^2\equiv x^3+2x+3(mod\ 97)$以及点P = (3,6)。点P的标量乘法的结果是循环的，只有五个点。 0P = 0 1P = (3,6) 2P = (80,10) 3P =（80，87） 4P =（3，91） 5P = 0 6P = (3,6) 7P = (80,10) 8P = (80，87) 9P =（3，91） ... nP = (n%6)P

很容易看出，在有限域上的椭圆曲线中一个点标量乘法的结果，组成一个在加法操作下的循环子群。在子群中的点，所有的加法的结果都还在子群中。而且，存在一个点，幂次（加法操作）能生成子群中的所有点。这样的点，称为“生成元”。

绕了一大圈，在有限域上的椭圆曲线上，存在很多个循环子群。子群是基于加法操作。

2.8 循环子群的阶

Schoof算法能确定整个基于有限域上的椭圆曲线上的点的个数，但是不能确定循环子群的个数。 拉格朗日定理指出，对于任何有限群G，G的每个子群H的阶次（元素数）都会被G的阶次整除。

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_theorem_(group_theory)

该定理给寻找循环子群的阶n，提供了一个思路：

1/ 利用Schoof算法，计算出整个椭圆曲线的阶

2/ 找出其所有的约数

3/ 找出最小的约数n，满足 nP = 0

2.9 寻找生成元

通常使用椭圆曲线算法，先选择曲线，计算椭圆曲线的阶，然后在这条曲线上找到最大的子群。找子群，就是寻找子群对应的生成元。

假设椭圆曲线的阶为N，子群的阶为n，由拉格朗日定理，h = N/n。

又因为椭圆曲线的阶为N，P为椭圆曲线上的随机的点，存在 NP = 0。也就是说 n(hP) = 0。

则 G = hP 为子群的生成元。

2.10 离散对数问题

已知两个在子群上的点P和Q，求解 Q = kP 是非常难的问题。目前该问题没有多项式时间求解算法。

2.11 同态

如果子群的阶为r，则 Q = (k%r)P 。

同态加法:

总结：

有限域上的椭圆曲线是零知识证明的基础。零知识的实现是基于离散对数问题。从计算的角度来看，F_p是个有限域，在之基础上建立的椭圆曲线点的运算都是在这个域范围内。有限域上的椭圆曲线上有很多循环子群F_r，具有加法同态的特性。离散对数问题指的是，在循环子群上已知两点，却很难知道两点的标量。

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